圆台体积公式推导过程

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    可以用两种办法,一是把圆台横向拆成一片一片的圆片,每一片按圆柱算积分积起来;另一种是像切圆那样把圆台从圆心纵向切成一片一片的,每一片按照梯台算,再积起来。

    圆台体积公式推导过程

    圆台的体积公式:V=1/3πh(r²+R²+rR),其中r是上底面半径,R是下底面半径。

    设一个圆台的上底面的半径为r',下底面的半径为r,母线长为l。则S=π(r'2+r2+r'l+rl)

    最简单的是使用极限的思想,将圆台横截成无数个小圆台,则每个圆台可以近似的看成一个圆柱,那么再使用微积分即可求解:S侧=∫(0到l)2πdz=π(r1+r2)l。其中l为圆台母线长,r1,r2为上下圆半径由此S=S侧+S上+S下=π(r1+r2)l+πr12+πr22=π(r'2+r2+r'l+rl)。当然用旋转体表面积公式S=2π∫ydx,其中y=(r2-r1)x/L+r1,也可求解S侧。

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