三角形内心的性质及做法

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    三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点,这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。

    三角形内心的性质及做法

    三角形内心的性质

    设⊿ABC的内切圆为☉O(半径r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2。

    1、三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心。

    2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r。

    3、r=S/p。

    4、∠BOC=90°+A/2。

    5、点O是平面ABC上任意一点,点O是⊿ABC内心的充要条件是:a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

    6、点O是平面ABC上任意一点,点I是⊿ABC内心的充要条件是:向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

    7、⊿ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么⊿ABC内心I的坐标是(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。

    8、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr。

    内心做法

    1.做出△ABC的两个内角的平分线,交于一点,该点即为三角形内心。

    2.做出△ABC的外接圆O,过圆心O分别作AC、BC(任意两边)的垂线,两条垂线与圆O交于E、F,连接AF、BE交于点I,则点I即为内心。

    内切圆的半径

    (1)在RtΔABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.

    (2)在RtΔABC中,∠C=90°,r=ab/(a+b+c)

    (3)任意△ABC中r=(2*S△ABC)/C△ABC (C为周长)

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